Abstract

上一节，我们学习并实现了简单的 Lambertian 漫反射材质模型，这一节我们将学习更复杂的 Cook-Torrance 材质模型并将其实现到我们现有的渲染器中。

Microfacet Theory

上一节，我们也提到过“在 Re0:0x02 中我们给出了 BRDF 的定义，但是那只是定义式是没办法用于真正计算的，所以我们需要对真实的材质在我们的定义式下进行建模，通过建模后的式子才适合用于计算”，然后我们给出了简单的漫反射材质模型，这一节我们将学习更复杂的材质模型。而这个材质模型是由 Robert L. Cook（来自 Lucasfilm）和 Kenneth E. Torrance（来自康奈尔大学）于 1982 年发表的《计算机图形学的反射模型》（A Reflectance Model for Computer Graphics1）所提出的。我们将结合这篇论文、 Google filament 的白皮书 《Physically Based Rendering in Filament2》和 Real Shading in Unreal Engine 43 来仔细讲解和实现。

Cook-Torrance Model

Microfacet Theory

Cook-Torrance Model 假设所有的物体在微观层面上都是有一个个微小的“镜面”组成的，这些微小的“镜面”对光线作用完全符合镜面反射模型（我们高中学过，虽然我们没讲），这些微小的“镜面”是光滑的，但是其分布并不是光滑的，如果你对微积分很熟悉，那么就可以说这些由微小“镜面”组成的表面是“不可导”的

Specular Reflection

Cook 和 Torrance 根据这个假设给出了这样一个 BRDF 公式：

$$f_r = f_d + f_s$$

$f_d$ 是漫反射BRDF , $f_s$ 是镜面反射BRDF 这里的$f_d$ 就是我们熟悉的 Lambertian Model

$$f_d = \frac{\rho}{\pi}$$

而$f_s$ 就是 Cook-Torrance 提出的模型，在原论文中，$f_s$ 的公式如下：

$$f_s = \frac{F \cdot D \cdot G}{\pi(\mathbf{N} \cdot \mathbf{L})(\mathbf{N},\mathbf{V})}$$

而经过多年的发展现在更常用的形式是：

$$f_{s} = \frac{D \cdot F \cdot G}{4 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})(\mathbf{n},\mathbf{v})}$$

可以看到原公式是除以 $\pi$，而现代是除以 $4$，这个问题我们在文章的最后进行解释，我们先仔细看看这个公式中不同的项到底是什么意思

Normal Distribution Function

根据Microfacet假设，微观层面微小的“镜面”的法向分布并不是完全一致的，除非在宏观层面上是一致光滑的，但大部分情况下都是不一致的，我们没办法表示所有的“镜面”的法向分布，因此我们需要通过统计学方法表示一个微小区域的平均法线分布，而Normal Distribution Function (NDF) 就是用来描述这种分布的函数。

看下面这幅图（来自games101） glossy 物体的法线基本上都是朝上的，对比diffuse物体要光滑些，平均在一个微元面中它的发线分布的范围就是蓝色区域，这个蓝色的区域是法线分布函数的lobe在二维上的切面，diffuse同理

具体来说，NDF 描述了在微观表面上，有多少比例的微平面法线（Micro-normals）刚好与半角向量 $\mathbf{h}$ 一致。因为根据镜面反射原理，只有当微平面的法线刚好等于 $\mathbf{h} = \frac{\mathbf{l} + \mathbf{v}}{\|\mathbf{l} + \mathbf{v}\|}$ 时，才能将入射光 $\mathbf{l}$ 反射到观察方向 $\mathbf{v}$

一个正确的 NDF 必须满足宏观投影面积的一致性。简单来说，从宏观法线 $\mathbf{n}$ 的方向看去，所有微平面在 $\mathbf{n}$ 轴上的投影面积之和，必须等于宏观单位平面的面积。 其数学形式表现为在半球空间（$\Omega$）上的积分方程：

$$\int_{\Omega} D(\mathbf{h}) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}) \, d\omega = 1$$

目前在实时渲染中，最常用的 NDF 是 Trowbridge-Reitz (GGX) 模型。它的数学表达式如下：

$$D_{GGX}(\mathbf{h}, \alpha) = \frac{\alpha^2}{\pi((\mathbf{n}\cdot\mathbf{h})^2(\alpha^2-1)+1)^2}$$

其中

  • $\mathbf{n}$: 宏观表面的几何法向量（Macro-normal）
  • $\mathbf{h}$: half vector
  • $\alpha$: 表面粗糙度参数

在原论文1中，cook 和 torrance 建议使用 beckmann NDF

$$D_{Beckmann}(\mathbf{h}) = \frac{1}{\pi \alpha^2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^4} \exp \left( \frac{(\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2 - 1}{\alpha^2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2} \right)$$

那为什么更普遍采用 GGX 呢？
我们来看一下下面这幅图 可以看到 Beckmann 曲线在横轴 35 以后全都变为 0 了，而 GGX 曲线依然保持着一定的数值，会体现出长尾效应

直观的我们可以继续看下面这副图： 如果我们把微平面的斜率（Slope）作为自变量，并将 NDF 的输出值取 $\log_{10}$ 对数进行可视化，在大斜率区域， Beckmann 分布在 $slope = 2.5$ 之外变成了黑色的区域（零值）；而 GGX，在边缘处依然保留着一定的数值即长尾效应。

在真实世界中，许多材质哪怕整体看起来很光滑，在远离高光核心的区域依然会有过渡，而不是一下就完全切断，所以在实时渲染中，更推荐使用 GGX NDF

而在离线渲染中，我们一般使用 GTR 模型

$$D_{GTR}(H) = \frac{k(\alpha, \gamma)}{\pi \left( (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2 (\alpha^2 - 1)+1 \right)^\gamma}$$

长得和 GGX 基本一致，唯一的区别就是：标准 GGX 的长尾效应是固定的，而 GTR 引入了一个额外的参数 $\gamma$，允许自由控制高光“长尾”的粗细和长度
其中

$$k(\alpha, \gamma) = \frac{(\gamma - 1)(\alpha^2 - 1)}{1 - (\alpha^2)^{1-\gamma}} \quad (\text{且 } \gamma \neq 1)$$

当 $\gamma = 2$ 时 就是标准的 GGX 模型

Geometric shadowing Function

根据Microfacet假设，在微观层面，有时候光线入射被微平面自身挡住，导致光线无法照射到目标微平面，有时候光线反射出来向视线传播时，被微平面自身挡住，导致观察者无法看到该微平面的反射光，为了表示这种现象，我们需要使用几何衰减函数 $G$ $G$ 项的作用，就是用来计算这些因为互相遮挡而损失的光线比例，它的取值在 $[0,1]$ 之间，它保证了能量守恒

  • 值为 1.0 表示完全没有遮挡，光线完美反射
  • 值越接近 0.0 表示 Masking 越严重，反射出的光线越少，表面看起来就越暗

$G$ 项一般都由两项构成

$$G(\mathbf{l}, \mathbf{v}, \mathbf{n},\alpha) = G_1(\mathbf{l}, \alpha) \cdot G_1(\mathbf{v}, \alpha)$$

其中

  • $G_1(\mathbf{l}, \alpha)$计算的就是 Shadowing
  • $G_1(\mathbf{v}, \alpha)$计算的就是 Masking
  • $\alpha$ 是粗糙度

在 filament2 中使用的是由 Trowbridge-Reitz (GGX) 模型推导出的 Smith-GGX 精确几何遮蔽函数

$$G_1(\mathbf{v}, \alpha) = \frac{2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} + \sqrt{\alpha^2 + (1 - \alpha^2)(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})^2}}$$

$$G_1(\mathbf{l}, \alpha) = \frac{2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{l} + \sqrt{\alpha^2 + (1 - \alpha^2)(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})^2}}$$

而在 早期 UE4 的白皮书3 中使用的是Schlick 近似（Schlick Approximation） 替代了原本复杂的 Smith 根号公式，速度更快

$$G_1(\mathbf{v},\alpha) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})(1 - k) + k}$$

$$G_1(\mathbf{l},\alpha) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}}{(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})(1 - k) + k}$$

$$k = \frac{(\alpha + 1)^2}{8}$$

Fresnel

Fersnel 描述了这样一个现象：观察者从表面反射看到的光量取决于观察角度。你可以做个实验感受一下这个现象，如果你垂直于一块玻璃看向外面，那么你可以很轻松地看到外面的景色，如果你接近于平行的角度去看，则大概率你能看到你那张帅气/美丽的脸 在 filament2 中，Fresnel 函数使用 Schlick 近似

$$F_{Schlick} = f_0 + (f_{90} - f_0)(1 - \mathbf{v} \cdot \mathbf{h})^5$$
  • $f_0$：垂直入射时的反射率（即正面看物体时的反光强度）
  • $f_{90}$：掠射角（grazing angle）时的反射率。在绝大多数物理真实材质中，$f_{90}$ 都是 1.0，可以看到下面的 UE4 就直接是定值 1 了

在 UE4 的白皮书3 中，Fresnel 函数使用 Spherical Gaussian 极致优化版

$$F(\mathbf{v}, \mathbf{h}) = f_0 + (1 - f_0) 2^{(-5.55473(\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}) - 6.98316)(\mathbf{v} \cdot \mathbf{h})}$$

使用极致的优化将 $(1 - \mathbf{v} \cdot \mathbf{h})^5$ 改为 $2^{(-5.55473(\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}) - 6.98316)(\mathbf{v} \cdot \mathbf{h})}$ 速度快了2，3倍

使用 $f_0 = 0.04$，$f_{90} = 1.0$，对比两个方案，可以发现曲线基本是一致的

待更新

References

  1. https://cseweb.ucsd.edu/~viscomp/classes/cse168/sp26/readings/cookpaper.pdf ↩︎ ↩︎

  2. https://google.github.io/filament/Filament.md.html ↩︎ ↩︎ ↩︎

  3. https://cdn2-unrealengine-1251447533.file.myqcloud.com/Resources/files/2013SiggraphPresentationsNotes-26915738.pdf ↩︎ ↩︎ ↩︎