柏林噪声 | Perlin Noise

在很多游戏中，比如 Minecraft 的地形生成，怪物猎人的云，大部分游戏中的火焰，水面的纹理都是基于 Perlin Noise 实现的

而这篇文章我们将学习 Perlin Noise 的基本思想，以及使用 C++ 实现一个基本的二维 Perlin Noise

通过随机数生成的普通噪声往往是杂乱无章的没有规律的，而柏林噪声使得噪声具有规律性一定连续性的噪声，非常适合用于程序化生成地形山川、大理石的纹路、生锈金属的斑驳等等

我们可以通过如下代码生成一个普通噪声纹理

 1#include "ppm_writer.h"
 2
 3#include <iostream>
 4#include <vector>
 5
 6int main()
 7{
 8    constexpr int width = 400;
 9    constexpr int height = 400;
10
11    std::vector<Vec4> data;
12    data.resize(width * height);
13
14    for (int i = 0; i < height; ++i) {
15        for (int j = 0; j < width; ++j) {
16            float value = rand() / (float) (RAND_MAX + 1.0);
17            value = value * 255.0f;
18            data[i * width + j] = Vec4(value, value, value, 255.0f);
19        }
20    }
21
22    PPMWriter ppmWriter;
23    ppmWriter.setFileName("normal_noise.ppm");
24    ppmWriter.setImageSize(width, height);
25    ppmWriter.writePPM(data);
26
27    return 0;
28}

而使用 Perlin Noise 生成的噪声纹理是这样的

可以看到相比于普通噪声，柏林噪声的噪声纹理更具有连续性，而游戏中对普通的 Perlin Noise 算法进行改进，就能实现地形、程序纹理等效果了。

Perlin Noise 的思想

Perlin Noise 的核心目标是：生成自然、平滑、且具有连续梯度变化的随机纹理

Perlin Noise 的核心思想是：既然普通噪声全都是随机生成的，那么我们不全都随机生成，只选取一些点进行随机生成，然后剩下的部分就通过插值来生成这样就存在一些连续性。并且为了获得具有连续梯度变化的纹理，我们应该在这些选取的点上生成一个随机梯度向量，让这些点具有方向性。而我们要做的不是对这些梯度向量进行插值，而是遍历其他的点，使用选定的点到其他的点的向量与选定的点的梯度向量进行点乘，然后对点乘的结果进行插值。

所以总结一下就是：

选定一些点，通常是整数点如 (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 等等，在这些点上生成一个随机梯度向量，并保存起来
遍历其他点，使用选定的点到其他点的向量与选定的点的梯度向量进行点乘，然后对点乘的结果进行双非线性插值

我们现在思考一下这个算法，如果我们不使用梯度向量，直接对选取的点生成一个随机数值，然后对这些随机数进行插值得到的将会是一些具有块状方格的纹理有点类似 Minecraft 的一些方块上的纹理。这并不是我们想要的，我们想表达出的是平滑的而不是块状的。

为了解决这个问题，Ken Perlin 引入了梯度向量和位移向量的点乘。

为什么点乘能产生平滑纹理？

当目标点 P 正好落于网格节点上时，位移向量 d = (0, 0)，点乘结果恒等于 0。保证了拼接时候无缝。
当目标点 P 对应的位移向量与梯度向量夹角小于90度时，点乘结果为正（上坡）；
当目标点 P 对应的位移向量与梯度向量夹角大于90度时，点乘结果为负（下坡）；
当目标点 P 对应的位移向量与梯度向量夹角等于90度时，点乘结果为 0

当一个像素位于网格中央时，它会同时收到周围 4 个顶点产生的斜面的影响。我们把这 4 个不同方向倾斜的斜面平滑地“缝合”在一起，网格内部就会自然隆起平缓的山丘与谷底，从而彻底消除了网格线与方块感。

由此我们可以写出如下代码

  1#include "ppm_writer.h"
  2
  3#include <cmath>
  4#include <cstdlib>
  5#include <iostream>
  6#include <vector>
  7
  8// 二维向量结构体
  9struct Vec2 {
 10    float x, y;
 11
 12    Vec2() : x(0), y(0) {}
 13    Vec2(float x_, float y_) : x(x_), y(y_) {}
 14
 15    // 向量点乘
 16    float dot(const Vec2& other) const {
 17        return x * other.x + y * other.y;
 18    }
 19};
 20
 21// 线性插值
 22inline float lerp(float a, float b, float t) {
 23    return a + t * (b - a);
 24}
 25
 26// Ken Perlin 的 5 次缓动曲线: 6t^5 - 15t^4 + 10t^3
 27inline float fade(float t) {
 28    return t * t * t * (t * (t * 6.0f - 15.0f) + 10.0f);
 29}
 30
 31class PerlinNoise2D {
 32private:
 33    int m_grid_size;
 34    std::vector<Vec2> m_gradients; // 保存网格顶点的随机梯度向量
 35
 36public:
 37    PerlinNoise2D(int gridSize) : m_grid_size(gridSize) {
 38        m_gradients.resize(gridSize * gridSize);
 39        
 40        // 随机初始化每一个网格节点上的单位梯度向量
 41        for (int i = 0; i < gridSize * gridSize; ++i) {
 42            float angle = (rand() / (float)RAND_MAX) * 2.0f * 3.1415926535f;
 43            m_gradients[i] = Vec2(std::cos(angle), std::sin(angle));
 44        }
 45    }
 46
 47    float noise(float pixel_x, float pixel_y, int img_width, int img_height) const {
 48        // 1. 将图像坐标映射到网格空间 [0, m_grid_size - 1]
 49        float x_i = (pixel_x / (float)img_width) * (m_grid_size - 1);
 50        float y_i = (pixel_y / (float)img_height) * (m_grid_size - 1);
 51
 52        // 获取当前像素所在的网格单元左下角整数坐标
 53        int x0 = static_cast<int>(std::floor(x_i));
 54        int y0 = static_cast<int>(std::floor(y_i));
 55        int x1 = x0 + 1;
 56        int y1 = y0 + 1;
 57
 58        // 2. 计算相对坐标 (u, v) \in [0, 1]
 59        float u = x_i - x0;
 60        float v = y_i - y0;
 61
 62        // 3. 获取 4 个顶点的梯度向量
 63        Vec2 g00 = m_gradients[y0 * m_grid_size + x0];
 64        Vec2 g10 = m_gradients[y0 * m_grid_size + x1];
 65        Vec2 g01 = m_gradients[y1 * m_grid_size + x0];
 66        Vec2 g11 = m_gradients[y1 * m_grid_size + x1];
 67
 68        // 4. 计算顶点到当前点的位移向量，并做点乘
 69        float n00 = g00.dot(Vec2(u, v));
 70        float n10 = g10.dot(Vec2(u - 1.0f, v));
 71        float n01 = g01.dot(Vec2(u, v - 1.0f));
 72        float n11 = g11.dot(Vec2(u - 1.0f, v - 1.0f));
 73
 74        // 5. 应用 Fade 曲线平滑插值权重
 75        float u_f = fade(u);
 76        float v_f = fade(v);
 77
 78        // 6. 双线性插值
 79        float nx0 = lerp(n00, n10, u_f);
 80        float nx1 = lerp(n01, n11, u_f);
 81        float n = lerp(nx0, nx1, v_f);
 82
 83        // 将 [-1, 1] 的噪声值映射到 [0, 1]
 84        return (n + 1.0f) * 0.5f;
 85    }
 86};
 87
 88int main() {
 89    constexpr int width = 400;
 90    constexpr int height = 400;
 91    constexpr int gridSize = 10; // 10x10 的控制网格
 92
 93    PerlinNoise2D perlin(gridSize);
 94    std::vector<Vec4> data(width * height);
 95
 96    for (int y = 0; y < height; ++y) {
 97        for (int x = 0; x < width; ++x) {
 98            float val = perlin.noise(x, y, width, height);
 99            
100            // 截断到 [0, 255]
101            float color = std::min(255.0f, std::max(0.0f, val * 255.0f));
102            data[y * width + x] = Vec4(color, color, color, 255.0f);
103        }
104    }
105
106    PPMWriter ppmWriter;
107    ppmWriter.setFileName("perlin_noise.ppm");
108    ppmWriter.setImageSize(width, height);
109    ppmWriter.writePPM(data);
110
111    return 0;
112}

【CG】 Perlin Noise

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Perlin Noise 的思想

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