Transform
为什么要学习 Transformation
变换 (Transform) 的第一个应用场景就是移动，通过变换操作可以将空间中的物体移动（Translate）到你想要的位置。如视频中的相机的移动。
变换的第二个应用场景就是旋转，通过变换操作可以将空间中的物体进行旋转(Rotate)。如视频中的机器人的手臂进行旋转。
变换的第三个应用场景就是缩放，通过变换操作可以将空间中的物体进行缩放(Scale)。如视频中的字母 I 发生的形变。
变换还有一个非常重要的应用场景，就是在光栅化的成像中使用的投影变换，我们真实世界的物体是3维的，但是通过摄像机拍摄后得到的图片是二维的，我们将3维物体到2维图片的这么一个过程叫做投影变换（Projection）
2D Transformations
Scale Matrix
缩放变换
经过上图的变换操作，我们将原图形中某个点$(x,y)$，我们将其x轴缩放到原来的$s_x$倍，将其x轴缩放到原来的$s_y$倍得到了新的点$(x',y')$，相当于我们进行了如下的数学操作，
其中矩阵运算中等号右边的第一项就是我们的缩放矩阵(scale matrix)， 实际上这是一种线性变换（至于线性变换是什么，期待我的高等代数文章吧！）
Reflection Matrix
对称变换或者叫反射变换可以将图形镜像翻转
上图我们将原图中的某个点$(x,y)$对y轴进行对称变换得到了新的点$(x',y')$，相当于我们进行了如下的数学操作，
Shear Matrix
剪切变换
对于变换后的点它的竖直方向的左边没有发生变换，只有水平方向上的坐标发生了变换，并且当y = 0的时候水平左边也没有发生变换，所以我们知道x的变换和y有关，并且通过变换后图像中的虚线的关系我们还知道x变换和a也有关，我们可以很轻松的得到变换后图像左上角的点的坐标是(a,1)变换前的左上角的坐标是(0,1)所以我们可以推断$x' = ax + y$,也就是
Rotate Matrix
旋转变换默认是绕着原点进行旋转的，也就是将原点定死，其他的点绕着原点进行旋转，并且默认是逆时针方向旋转
通过上图上的点的变换与三角函数的关系我们可以得到旋转操作是(至于怎么推导的还是期待我的数学专题吧)
Translation
这个变换我们想写成数学的式子非常简单
但是这不能写成一个矩阵乘以一个向量的形式了，我们只能写成
$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c &d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix}$$所以为了解决这个问题，我们引入了齐次坐标
齐次坐标
齐次坐标简单来说是将 $n$ 维向量用 $n+1$ 维坐标来表示的一种数学方式，这样做的好处是方便我们进行平移操作。 在笛卡尔坐标系下，旋转和缩放操作都可以使用矩阵乘进行操作，而平移只能通过加法操作，但是我们希望只通过矩阵乘法表示这些操作，这就需要引入齐次坐标，在齐次坐标中平移也可以写成矩阵乘法的形式。这样，所有的变换都能统一成矩阵乘法，从而方便GPU进行大规模并行计算。
将一个笛卡尔坐标转为齐次坐标：
$$(x, y) \rightarrow (x, y, 1)$$将一个齐次坐标转为笛卡尔坐标
$$(x, y, w) \rightarrow \left(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}\right)$$而在齐次坐标下进行的变换我们称作仿射变换
平移操作
在齐次坐标下$(1, 2, 1)$、$(2, 4, 2)$ 和 $(5, 10, 5)$ 都表示笛卡尔空间中的同一个点 $(1, 2)$。
通过这个方式我们可以将平移操作写成矩阵乘法，如下：
假设我们要将点在 $x$ 轴平移 $t_x$，在 $y$ 轴平移 $t_y$，平移矩阵 $\mathbf{T}$ 如下：
计算过程
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$$同理
旋转操作
假设我们要将点绕原点逆时针旋转角度 $\theta$，旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 在齐次坐标下表示为：
$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$计算过程：
$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \\ 1 \end{bmatrix}$$缩放操作
虽然作业中没要求，但这里还是介绍一下， 将一个点$(x,y,1)^T$在 $x$ 轴方向缩放 $s_x$ 倍，在 $y$ 轴方向缩放 $s_y$ 倍
$$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$计算过程：
$$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x \cdot x \\ s_y \cdot y \\ 1 \end{bmatrix}$$齐次坐标下的点和向量
- 在齐次坐标下,点通常表示为 $(x, y, 1)^T$
- 向量通常表示为 $(x, y, 0)^T$。
它们在齐次坐标下有如下的关系：
而 point + point 表示的是一个点 $(x/w, y/w, 1)$ 表示的是这两个点的中点
注意通常我们进行矩阵与向量相乘的时候，通常我们使用矩阵乘以一个向量，而不是向量乘以一个矩阵，所以如果我们进行这么一个操作 $A \times B \times C \times \vec{v}$那么对向量的操作是从右项左进行的，先对 $\vec{v}$ 进行 $C$ 操作再是 $B$ 操作 $A$ 操作，这是因为矩阵乘法不满足交换律，先进行A和先进行B的操作是完全不同的。
我们的旋转只能绕着原点进行旋转，如果我们想绕着其他的点旋转我们应该怎么做呢？我们可以先将需要绕着旋转的点平移到原点（对物体整个进行平移，让这个点与原点进行重合），再进行旋转，最后再平移到原来的位置就行了
、
3D Transformations
3维变换和2维变换一样，只是3维变换的矩阵会多一个维度，我们直接类比过去就行了，增加一个z轴
对于这个图中的变换矩阵，我们是先进行左上角3*3的变换最后再进行平移操作的，这是因为仿射变换直接对应了这么一个操作（拿2维举例子）
而这个操作是先做线性变换再做平移的
作业解析
不好意思，搞错了，这节的作业我们在上一节中做完了，所以作业解析在上一节的最后，这里就没作业了。