Scale Matrix#

缩放变换 经过上图的变换操作，我们将原图形中某个点$(x,y)$，我们将其x轴缩放到原来的$s_x$倍，将其x轴缩放到原来的$s_y$倍得到了新的点$(x',y')$，相当于我们进行了如下的数学操作，

其中矩阵运算中等号右边的第一项就是我们的缩放矩阵(scale matrix)， 实际上这是一种线性变换（至于线性变换是什么，期待我的高等代数文章吧！）

Reflection Matrix#

对称变换或者叫反射变换可以将图形镜像翻转 上图我们将原图中的某个点$(x,y)$对y轴进行对称变换得到了新的点$(x',y')$，相当于我们进行了如下的数学操作，

Shear Matrix#

剪切变换 对于变换后的点它的竖直方向的左边没有发生变换，只有水平方向上的坐标发生了变换，并且当y = 0的时候水平左边也没有发生变换，所以我们知道x的变换和y有关，并且通过变换后图像中的虚线的关系我们还知道x变换和a也有关，我们可以很轻松的得到变换后图像左上角的点的坐标是(a,1)变换前的左上角的坐标是(0,1)所以我们可以推断$x' = ax + y$,也就是

Rotate Matrix#

旋转变换默认是绕着原点进行旋转的，也就是将原点定死，其他的点绕着原点进行旋转，并且默认是逆时针方向旋转 通过上图上的点的变换与三角函数的关系我们可以得到旋转操作是(至于怎么推导的还是期待我的数学专题吧)

Translation#

这个变换我们想写成数学的式子非常简单

但是这不能写成一个矩阵乘以一个向量的形式了，我们只能写成

所以为了解决这个问题，我们引入了齐次坐标

平移操作#

在齐次坐标下$(1, 2, 1)$、$(2, 4, 2)$ 和 $(5, 10, 5)$ 都表示笛卡尔空间中的同一个点 $(1, 2)$。
通过这个方式我们可以将平移操作写成矩阵乘法，如下： 假设我们要将点在 $x$ 轴平移 $t_x$，在 $y$ 轴平移 $t_y$，平移矩阵 $\mathbf{T}$ 如下：

计算过程

同理

旋转操作#

假设我们要将点绕原点逆时针旋转角度 $\theta$，旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 在齐次坐标下表示为：

计算过程：

缩放操作#

虽然作业中没要求，但这里还是介绍一下， 将一个点$(x,y,1)^T$在 $x$ 轴方向缩放 $s_x$ 倍，在 $y$ 轴方向缩放 $s_y$ 倍

计算过程：

齐次坐标下的点和向量#

• 在齐次坐标下,点通常表示为 $(x, y, 1)^T$
• 向量通常表示为 $(x, y, 0)^T$。 它们在齐次坐标下有如下的关系： 而 point + point 表示的是一个点 $(x/w, y/w, 1)$ 表示的是这两个点的中点

注意通常我们进行矩阵与向量相乘的时候，通常我们使用矩阵乘以一个向量，而不是向量乘以一个矩阵，所以如果我们进行这么一个操作 $A \times B \times C \times \vec{v}$那么对向量的操作是从右项左进行的，先对 $\vec{v}$ 进行 $C$ 操作再是 $B$ 操作 $A$ 操作，这是因为矩阵乘法不满足交换律，先进行A和先进行B的操作是完全不同的。

我们的旋转只能绕着原点进行旋转，如果我们想绕着其他的点旋转我们应该怎么做呢？我们可以先将需要绕着旋转的点平移到原点（对物体整个进行平移，让这个点与原点进行重合），再进行旋转，最后再平移到原来的位置就行了 、