补充#

旋转矩阵的转置等于旋转矩阵的逆，所以我们如果要顺时针旋转，通常我们先写出它逆时针旋转对应角度的矩阵再求转置，如果一个矩阵的转置等于它的逆，那么这个是正交矩阵。

R^{-1} = R^T

3D Transformations#

Scale和Translation与2维变换类似不再赘述

在3维中间中比较复杂的是旋转变换。下面的3个旋转矩阵分辨是绕着x轴、y轴、z轴进行旋转对于任意的旋转，我们可以通过分别将其分解为绕z轴旋转、绕y轴旋转、绕x轴旋转得到对于绕任意过原点的轴旋转我们可以使用下面这个矩阵

其中的 $\alpha、\beta、\gamma$ 是欧拉角，这些角我们分别叫做pitch,yaw,roll

Viewing Transformation#

我们学习变换最重要的一个目的就是为了将3维空间中的物体变为一张2维空间的图片，而你在3维空间空不同的位置观察一个物体，看到的内容肯定不一样。

思考一下我们现实生活中是怎么拍一张照片的。

找一个好的位置让人去摆好pose，这对应了图形学中的 Model Transformation
找一个好的”角度”放置你的相机，以及调整你相机的参数，这对应了图形学中的 View Transformation
Cheese! ,这对应了图形学中的 Projection Transformation
我们将这些变换统称为MVP变换

View Transformation#

第一步，我们要先定义一个相机

相机的位置在哪 Position $\vec{e}$
相机对着哪里拍照 Look-At $\vec{g}$
相机有没有绕着拍照方向旋转(因为你可以竖着手机拍照，也可以横着拍照) Up direction $\vec{t}$

第二步，如何进行View Transformation 我们上过高中物理的都知道相对运动这么一回事，所以在图形学中，我们一般不直接移动一个相机，而是让相机固定不动，而让物体相对于相机移动那么我们应该怎么做呢？我们先将相机位置 $\vec{e}$ 移动到原点，然后我们让相机 $\vec{g}$ 旋转到-z方向，向上方向旋转到y轴，然后剩下的绿色的轴就对其到x轴了我们可以如下的矩阵操作完成上述任务：我们先将 $\vec{e}$ 通过 $T_{view}$ 平移到原点，然后通过 $R_{view}$ 将对应的轴旋转到希望的轴上去，由于我们将相机定义的轴旋转到坐标轴上非常的麻烦，所以我们可以通过逆矩阵来完成，我们将坐标轴旋转到定义的相机轴上非常的简单。我们将这两个矩阵相乘，得到一个View Transformation矩阵。

Projection Transformation#

投影有两个种方法，一种是透视投影，一种是正交投影而我们人眼是使用的是透视投影，透视投影会有一个近大远小的现象，而正交投影没有

透视投影在数学上的模型就是下面这幅图的左边，他是一个4棱锥，他把场景中的物体映射到一个Near clip plane和Far clip plane之间，而相机看到的画面是Near clip plane，相机在四棱锥的最上面的顶点上
正交投影在数学上的模型就是下面这幅图的右边，他一个长方体，他把场景中的物体映射到一个Near plane和Far plane之间，而相机看到的画面是Near plane，相机假设是无限远的，如果我们将透视投影的相机拿到无限远处其实也就变成了正交投影

Orthographic Projection#

正交投影非常的简单

把相机摆放在原点让相机看向-z轴，y轴朝上
然后我们把物体的z轴丢掉
最后我们把物体的x和y轴进行缩放到一个 $[-1,1]\times [-1,1]$ 的一个可视范围就行了

而在图形学中我们一般这么做

我们先定义一个长方体 $[l,r]\times [b,t]\times [n,f]$
在将这个长方体平移到原点
然后将这个长方体缩放到一个 $[-1,1]\times [-1,1]\times [0,1]$ 的可视范围

这个操作非常的简单，我们需要一个平移矩阵和一个缩放矩阵就行了

将长方体的中心平移到原点
再将长方体的长宽高都缩放到2

Perspective Projection#

透视投影在图形学中有着非常广泛的应用，它满足近大远小，平行线不再平行我们先复习一下齐次坐标中的点，在齐次坐标中 $(1,0,0,1)$ 和 $(2,0,0,2)$ 表示的是同一个点，这个我们后面要用。
在正交投影中，我们有一个立方体，而在透视投影中我们有一个类似的4棱台(Frustum) 可以发现他们的区别是在透视投影中原平面要大一点，那么我们怎么做透视投影呢？

我们先把远平面”挤压”成立方体，近平面不变，远平面的中心点不会变，这一步我们对应了一个矩阵（ $M_{persp->ortho}$ ）
再做一次正交投影()，这一步我们对应了一个矩阵（ $M_{ortho}$ ）

此时

\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}\Longrightarrow \begin{bmatrix} nx/z \\ ny/z \\unkown \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ unkown \\ z \end{bmatrix}

在齐次坐标中，乘上一个z后还是原来那个点我们目前不知道z是怎么变化的，所以我们先标记为unkown
我们知道我们需要通过 $M_{persp->ortho}$ 这个矩阵进行挤压操作，那么这个矩阵应该是什么样子呢？由于我们不知道z是什么样子的所以我们只能写出我们知道这么几个信息

在近平面上的点在挤压操作之后没有发生任何变换
在远平面上的点他们的z轴在挤压操作后也没有发生任何变换
在远平面上的中心点在挤压操作后没有发生任何变换挤压操作是

M_{persp\to ortho}^{4\times 4}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ unkonw \\ z \end{bmatrix}

根据信息1，我们知道，对近平面上的点进行挤压操作后还是原来的点，即
对于近平面上的一个点 $(x,y,n,z)^T$ ，进行挤压操作

M_{persp\to ortho}^{4\times 4}\begin{bmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{bmatrix}

所以我们可以推测 $M_{persp\to ortho}^{4\times 4}$ 的第三行乘以这个点等于 $n^2$ ，所以我们推测

M_{persp\to ortho}^{4\times 4} =\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & B\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ n \\ 1 \end{bmatrix}=n^2

这里B or A 不能等于0 因为如果 $A = n,B = 0$ 是成立的，但是 $A = 0,B = n^2$ 也是成立的所以这里不能确定这个解，还需要额外的信息。
根据信息2和信息3，我们知道远平面的中心点在挤压操作后没有发生任何变换，即

M_{persp\to ortho}^{4\times 4} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & B\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{bmatrix}

这让我们知道

\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ f \\ 1 \end{bmatrix}=f^2

最后我们可以得到两个方程

\left\{\begin{matrix} An+B=n^2 \\ Af+B=f^2 \end{matrix}\right.

我们可以解出 $A,B$

\left\{\begin{matrix} A =n+f \\ B = -nf \end{matrix}\right.

还记得我们之前说透视投影是挤压+正交投影吗，现在我们知道透视投影的挤压操作矩阵是

M_{persp\to ortho}^{4\times 4} =\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

所以最后我们得到透视投影的矩阵是

M_{persp} = M_{ortho} M_{persp\to ortho}

在视频的最后我的偶像闫令琪老师留下了一个思考题：对于透视投影的 Frustum，我们对它进行挤压操作，我们知道对于近平面和远平面的点，它们的z轴不会变，现在要问的是对于远近平面之间的点的z，在挤压之后z怎么变？变大还是变小还是不变（推向近平面还是远平面）? 这个问题我们作为作业留到作业解析中分析。

作业解析#

什么？作业0今天才放出来，我们已经在02中写过了。看作业解析请移步到02的文章，这里我们解决这个思考题。根据我们最后推导得到的 $M_{persp\to ortho}$ 对于近平面和远平面之间的任何一个点 $(x,y,z,1)^T$ 我们对它进行挤压操作，只考虑分量 $z$ ，有

\begin{bmatrix} 0 & 0 & n+f & -nf \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=(n+f)z-nf

这个点的 $z$ 在齐次坐标下等价于

z' =\frac{(n+f)z-nf}{z}

由于我们想知道它是更靠近远平面还是近平面，我们拿这个变化后的点与变化前的点进行比较

\Delta z = z'-z =\frac{(n+f)z-nf}{z}-z=\frac{-(z^2-(n+f)z+nf)}{z}

如果 $\Delta z > 0$ 则说明 $z'> z$ 更靠近近平面
如果 $\Delta z < 0$ 则说明 $z'< z$ 更靠近远平面
如果 $\Delta z = 0$ 则说明 $z'= z$ 不变
注意到式子可以因式分解，有

\Delta z = \frac{-(z-n)(z-f)}{z}

并且我们知道 $0>n>z>f$ 所以

$(z-n)<0$
$(z-f)>0$
$-(z-n)(z-f)>0$
$z<0$
所以 $\Delta z$ 永远是小于0 的所以更靠近远平面，这是我们假设在z的负半轴上进行推导的，再正半轴上同理，最后也是更靠近远平面，在正半轴我们有 $f>z>n>0$ ，且是 $\Delta z>0$ 时更靠近远平面。

Shirone

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